高考数学考题应加入数学史知识的考查兼谈数学思想的重要
作者 :pingping
国内很多高中生只知道牛顿,帕斯卡是物理学家,却不知道他们同时是个大数学家.更糟糕的
是不少学生认为数学是枯燥无味且无用的东西,有的学生甚至对数学狠之入骨.这可以说是数学
史在中等教育中不受重视的缘故.从历年的数学高考题目中就不难发现几乎没有看到一道关于
数学史的考试题目,哪怕一道数学史的选择题也不出.我认为这样的考试对学生的创造力毫无益
处.如果要搞好素质教育,那末数学史的知识就不能忽略.因为多给学生传授些数学史知识,有利
于学生了解数学发展的一些来龙去脉,很容易激发学生独立思考问题的能力,让学生发现他自己
的潜力,发现上帝的思想.
例如可以出些这样的数学史考题:为什么要发明负数;无理数发明与勾股定理的联系;谁最先
发明对数函数;复数在数学史上引起过什么样的争议...等等.了解这些知识的发明过程,你就会
领会到数学家那种突破陈规的数学思想是多么美妙.
有不少科学家赞美数学是大自然的语言，是推动人类文明进程的最重要动力.由此可见数学
是种非常重要的科学知识.事实上,在数学家眼中,她不仅仅是一种科学知识，更重要是一种思
想。这种思想就是数学家在发现问题,解决问题,挖掘出新的知识时领悟出来的灵感,从而她能
催人奋进,让人的心汹涌滂湃.领会了她，你就会为数学之美而兴奋,就象阿基米德发现了浮力
定律一样兴奋.反之,你只懂生搬硬套数学公式,那样的数学当然就觉得枯燥无味.
下面我举个我自己的例子,来说说数学思想的重要.
问题:
为什么微积分中三角函数通常采用弧度制而不采用角度制?
思考及创新:
我们中学的时候学三角函数开始时是使用角度做变量,而到了大学学微积分的时候三角函数
却采用弧度做变量.学过微积分的朋友您是否曾经考虑过这个问题呢?记得教科书上说使用弧度
制是方便科学计算的,其实没有这么简单.
我刚学完微积分的时候发现了这个问题并迷糊了一阵子,后来认真回顾一下所学的知识,并
找到了答案:如果没有弧度制,当x趋于0时,sinx趋于x就不成立.从而大家死记硬背了的sinx的
导数公式也不是cosx(具体演算,大家去参看微积分的sinx的导数的推演,最关键的地方就是用
了sinx的这个极限公式).并且sinx的Taylor展式就不好推导了.没有Taylor展式,sinx的科学计
算就不会很精确.
当一个有趣的问题得到了答案之后,我们就应该对这个问题用扩散思维进行"研究".记得我
当时找到这个问题的答案之后很快产生了这样一个灵感:既然可以用圆的弧长来度量三角函数,
那么我们用椭圆曲线的弧长来度量角度会得到一个什么样的新函数?毕竟圆和椭圆在几何上是
那么的相似和美妙.不过,我那时的推广三角函数的"研究"没有成功.后来在大学的时候才知道
190多年前挪威数学家Abel早就推广了三角函数,这种函数是数学中的椭圆函数,他的那篇论文
是19世纪最重要的一篇数学论文之一.这种函数重要性就在于她有双周期,一个实数的一个是虚
数的.Abel发现椭圆曲线的双周期性就是依赖于椭圆积分的反演.有趣的是积分反演能够导出初
等的三角函数中的所有公式,例如加法公式.椭圆积分就是研究椭圆弧长的函数,而椭圆积分的
反演就是通过把椭圆的弧长做变量来研究椭圆积分函数的反函数的性质.19世纪德国数学家
Legendre研究椭圆积分几十年却没有发现积分反演这一思想.Abel读了他的著作后很快就萌生
了积分反演灵感,可以说他的积分反演的灵感就是受初等的三角函数改用弧长做变量这一思想
的启发.大数学家Hermit说Abel的思想足够让数学家们忙上150年.并且这个用弧长做变量的思
想在后来的微分几何发展中也有很大帮助,例如用弧长做变量使得Frenet公式更简洁.
由这个例子你不难发现数学原来是那样的美妙无穷,引人入胜.
2006年6月29日
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